Олимпиадные задачи из источника «7 класс»

Клетки доски размером 5×5 раскрашены в шахматном порядке (угловые клетки – чёрные). По чёрным клеткам этой доски двигается фигура – мини-слон, оставляя след на каждой клетке, где он побывал, и больше в эту клетку не возвращаясь. Мини-слон может ходить либо в свободные от следов соседние (по диагонали) клетки, либо прыгать (также по диагонали) через одну клетку, в которой оставлен след, на свободную клетку за ней. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить мини-слон?

Через точку <i>Y</i> на стороне <i>AB</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая сторону <i>BC</i> в точке <i>Z</i>, а продолжение стороны <i>CA</i> за точку <i>A</i> – в точке <i>X</i>. Известно, что  <i>XY = YZ</i>  и  <i>AY = BZ</i>.  Докажите, что прямые <i>XZ</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

На складах двух магазинов хранится пшено: на первом складе на 16 тонн больше, чем на втором. Каждую ночь ровно в полночь владелец каждого магазина ворует у своего конкурента четверть имеющегося на его складе пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?

В каждой клетке таблицы 10×10 записано число. В каждой строке подчеркнули наибольшее число (или одно из наибольших, если их несколько), а в каждом столбце – наименьшее (или одно из наименьших). Оказалось, что все подчёркнутые числа подчёркнуты ровно два раза. Докажите, что все числа, записанные в таблице, между собой равны.

В треугольнике <i>ABC</i> биссектриса угла <i>C</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>A</i> пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>T</i>. Оказалось, что отрезки <i>CM</i> и <i>AT</i> разбили треугольник <i>ABC</i> на три равнобедренных треугольника. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Назовём натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i> <i>друзьями</i>, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если <i>a</i> – друг <i>b</i>, то <i>a</i> – друг НОД(<i>a, b</i>).

Четверо детей сказали друг о друге так.

<i>Маша</i>:  Задачу решили трое: Саша, Наташа и Гриша.

<i>Саша</i>:  Задачу не решили трое: Маша, Наташа и Гриша.

<i>Наташа</i>:  Маша и Саша солгали.

<i>Гриша</i>:  Маша, Саша и Наташа сказали правду.

Сколько детей на самом деле сказали правду?

На карте обозначены четыре деревни: <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, соединённые тропинками (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116664/problem_116664_img_2.gif"></div>В справочнике указано, что на маршрутах<i>A-B-C</i>и<i>B-C-D</i>есть по 10 колдобин, на маршруте<i>A-B-D</i>колдобин 22, а на маршруте<i>A-D-B</i>колдобин 45. Туристы хотят добраться из<i>A</i>в<i>D</i>так, чтобы на их пути было как можно меньше колдобин. По какому маршруту им надо двигаться?

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?