Олимпиадная задача о друзьях чисел и их НОД — теория чисел, 7-8 класс

Решение 1:   Пусть  d = НОД(a, b).  Тогда  a = md,  b = nd,  где m и n – взаимно простые натуральные числа. Из условия следует, что число  ab = mnd²  – точный квадрат, значит, и mn – точный квадрат. Следовательно, каждое из чисел m и n – точный квадрат:  m = k².

  Отсюда  a·НОД(a, b) = md² = (kd)²,  то есть a – друг НОД(a, b).

Решение 2:   Число является точным квадратом, если в его разложение на простые множители каждый из них входит с чётным показателем степени.

  Разложим числа a и b на простые множители. Так как a и b – друзья, то каждое простое число входит в эти разложения с показателями степеней одинаковой чётности.

  Так как в разложение  НОД(a, b)  каждый простой множитель входит с наименьшим показателем из этих двух, то в разложения чисел a и  НОД(a, b)  каждое простое число также входит с показателями степеней одинаковой чётности. Это и означает, что a и  НОД(a, b)  – друзья.

Ответ задачи отсутствует