Олимпиадная задача по планиметрии: равнобедренные треугольники в треугольнике ABC

  Так как сумма углов A и C треугольника ABC меньше, чем 180°, то  ∠TAC + ∠TCA < 90°,  поэтому угол ATC – тупой (см. рис.).

  Значит, в равнобедренном треугольникеATCсторонаACявляется основанием. Тогда  ∠TAC = ∠TCA= α,  поэтому  ∠BAC = ∠BCA= 2α.  УголATM– внешний для треугольникаATC, значит,  ∠ATM= 2α.    ТреугольникATMтакже является равнобедренным. ЕслиT– его вершина, то  ∠TMA = ∠TAM= α,  тогда сумма углов этого треугольника равна 4α. Но 4α – сумма угловAиCисходного треугольника, то есть меньше 180°. Значит,TM– основание треугольникаATM, а сумма его углов равна 5α. Отсюда  α = 36°.   ТреугольникCMBтакже оказывается равнобедренным, так как  ∠MCB = ∠MBC= 36°.

72°, 72° и 36°.