Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 2 с решениями

Сумма девяти различных натуральных чисел равна 200. Всегда ли можно выбрать из них четыре числа так, чтобы их сумма была больше чем 100?

Решите систему уравнений:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/65486/problem_65486_img_2.png">.

На плоскости проведены <i>n</i> прямых так, что каждые две пересекаются, но никакие четыре через одну точку не проходят. Всего имеются 16 точек пересечения, причём через 6 из них проходят по три прямые. Найдите <i>n</i>.

Решите в натуральных числах уравнение:  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + 1 = 3<i>xy</i>.

Около единичного квадрата <i>ABCD</i> описана окружность, на которой выбрана точка <i>М</i>.

Какое наибольшее значение может принимать произведение <i>MA·MB·MC·MD</i>?

У многочленов <i>Р</i>(<i>х</i>) и <i>Q</i>(<i>х</i>) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).

Докажите, что разность  <i>Р</i>(2015) – <i>Q</i>(2015)  кратна 1007.

Натуральные числа <i>A</i> и <i>B</i> делятся на все натуральные числа от 1 до 65. На какое наименьшее натуральное число может не делиться число  <i>A + B</i>?

В параллелограмме <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> – середина стороны <i>AD</i>, точка <i>F</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>В</i> на прямую <i>СЕ</i>.

Найдите площадь треугольника <i>ABF</i>, если  <i>АВ = а</i>,  ∠<i>ВАF</i> = α.

Найдите ближайшее целое число к числу <i>x</i>, если  <i>x</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65474/problem_65474_img_2.png">.