Олимпиадные задачи из источника «2014/2015» - сложность 3 с решениями
Решите в целых числах уравнение (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 16<i>y</i> + 1.
Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники <i>АВ</i><sub>1</sub><i>С</i> и <i>ВА</i><sub>1</sub><i>С</i> с одинаковыми углами α при их основаниях <i>АС</i> и <i>ВС</i>. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>С</i> к отрезку <i>А</i><sub>1</sub><i>В</i><sub>1</sub> пересекает серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> в точке <i>С</i><sub>1</sub>. Найдите угол <i>АС</i><sub>1</sub><i>В</i>.
Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub>,</i> ..., в которых <i>a</i><sub>2</sub> = 2 и <i>a<sub>nm</sub> = a<sub>n</sub>a<sub>m</sub></i> для любых натуральных <i>n</i> и <i>m</i>.
В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?
В прямоугольном параллелепипеде <i>АВСDA'B'C'D' АВ = ВС = а, AA' = b</i>. Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро <i>CD</i>. Найдите наибольшее значение площади проекции.
В равенстве <i>х</i><sup>5</sup> + 2<i>x</i> + 3 = <i>p<sup>k</sup></i> числа <i>х</i> и <i>k</i> – натуральные. Может ли число <i>р</i> быть простым?
В тетраэдре <i>АВСD</i>: <i>АВ</i> = 8, <i>ВС</i> = 10, <i>АС</i> = 12, <i>BD</i> = 15. Известно, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противолежащие грани, пересекаются в одной точке. Найдите длины рёбер <i>DA</i> и <i>DC</i>.