Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 6-9 класса - сложность 1-5 с решениями

Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.

Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i>  (см. рисунок).

На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции  <i>y = cx</i>² + 2<i>bx + a</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64491/problem_64491_img_2.gif"></div>

Среди <i>n</i> рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.

При каких <i>n</i> такое возможно?

Известно, что в неравностороннем треугольнике <i>ABC</i> точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны <i>BC</i>, принадлежит описанной окружности. Докажите, что  ∠<i>BAC</i> < 60°.

В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0).

Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?

При каких натуральных <i>n</i> число  <i>n</i>² – 1  является степенью простого числа?

Окружность пересекает оси координат в точках  <i>А</i>(<i>a</i>, 0),  <i>B</i>(<i>b</i>, 0)  <i>C</i>(0, <i>c</i>)  и  <i>D</i>(0, <i>d</i>).  Найдите координаты её центра.

Для каких значений <i>x</i> выполняется неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64479/problem_64479_img_2.gif">