Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 1-5 с решениями
11 класс
НазадВсе имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i> у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i><sup>k</sup>/<sub>n</sub></i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при <i>n</i> = 10 и <i>k</i> = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных <i>n ≥ k</i>.
На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.
Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, первоначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо от ходов другого?
Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чгобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса достаточно мал.
Найти все несократимые дроби <sup><i>а</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, представимые в виде <i>b,а</i> (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел <i>b</i> и <i>а</i>).
Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>5</sub></i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a<sub>1</sub></i>, cos <i>a<sub>2</sub></i>, cos <i>a<sub>3</sub></i>, а также числа sin <i>a<sub>3</sub></i>, sin <i>a<sub>4</sub></i> и sin <i>a<sub>5</sub></i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.