Олимпиадные задачи из источника «2002 год» для 7 класса - сложность 2-5 с решениями
Про положительные числа <i>a, b, c</i> известно, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>c</sub> ≥ a + b + c</i>. Докажите, что <i>a + b + c</i> ≥ 3<i>abc</i>.
Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению <i>x</i><sup>4</sup> – 2<i>y</i>² = 1.
Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?
Квадрат суммы цифр числа <i>A</i> равен сумме цифр числа <i>A</i><sup>2</sup>. Найдите все такие двузначные числа <i>A</i>.
На острове ⅔ всех мужчин женаты и ⅗ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?