Олимпиадные задачи из источника «1994 год» - сложность 2 с решениями
В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>B</i> на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок <i>PQ</i> параллелен стороне <i>AC</i>.
Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.
<i>D</i>– точка на стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>. B треугольники<i>ABD, ACD</i>вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от<i>BC</i>), пересекающая<i>AD</i>в точке<i>K</i>. Докажите, что длина отрезка<i>AK</i>не зависит от положения точки<i>D</i>на<i>BC</i>.
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Докажите, что уравнение <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ имеет бесконечное число решений в целых числах <i>x, y, z</i>.
У Коли есть отрезок длины<i>k</i>, а у Лёвы — отрезок длины <i>l</i>. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения<i>k</i>/<i>l</i>, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?
Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.