Олимпиадная задача Ковальджи: система счисления и делимость для 8-9 классов
Задача
Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Решение
Пусть x, y – искомые трёхзначные числа. По условию 7xy = 1000x + y. Первый способ. Разделим обе части равенства на x: 7y = 1000 + y/x. Число y/x положительно и меньше 10, так как y ≤ 999, x ≥ 100. Поэтому
1000 < 7y < 1010. Деля это неравенство на 7, получаем 1426/7 < y < 1442/7. Так как y – целое число, y = 143 или 144.
Подставляя y = 143 в равенство, получаем 7x·143 = 1000x + 143. Решая это уравнение, находим x = 143.
Если y = 144, то аналогичное уравнение даёт x = 18, а это число – не трёхзначное. Второй способ. Перепишем равенство в виде 1000x = (7x – 1)y. Числа x и 7x – 1 взаимно просты. Значит, 7x – 1 – делитель числа 1000. Но
7x – 1 ≥ 7·100 – 1 = 699, поэтому 7x – 1 = 1000, откуда x = 143. Подставляя в исходное уравнение, находим y = 143.
Ответ
143 и 143.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь