Олимпиадные задачи из источника «1989 год» - сложность 3-5 с решениями
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Можно ли расставить на листе клетчатой бумаги крестики и нолики так, чтобы ни на одной горизонтали, вертикали и диагонали нельзя было встретить три одинаковых знака подряд?
Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?
Найдите все положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub>, удовлетворяющие при всех <i>k</i> = 1, 2,..., 10 условию (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i>)(<i>x<sub>k</sub> + ... + x</i><sub>10</sub>) = 1.
Все значения квадратного трёхчлена <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> на отрезке [0, 1] по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина |<i>a| + |b| + |c</i>|?
Найдите все натуральные числа <i>x</i>, удовлетворяющие условиям: произведение цифр числа <i>x</i> равно 44<i>x</i> – 86868, а сумма цифр является кубом натурального числа.
Проведя наименьшее количество линий (окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки), постройте прямую, проходящую через данную точку параллельно заданной прямой.