Рассмотрим тетраэдрABCDи возьмём на его рёбрах точкиK,L,M,P,Q,T, как показано на рисунке. Пусть плоскостиKMP,MLTиLKQкасаются вписанного в тетраэдр шара, а плоскостьPTQэтого шара не касается. Пусть, для определённости, вписанный шар пересекает плоскостьPTQ. Проведём черезPQплоскость, касающуюся вписанного шара и обозначим черезT₁точку пересечения этой плоскости с ребромDC.

Рассмотрим выпуклый многогранник (восьмигранник)KLMPQTT₁. Для удобства окрасим граниKMP,MLT,LKMиPQT₁в чёрный цвет, а остальные грани пусть останутся белыми. В чёрный цвет окрашены грани, не принадлежащие поверхности тетраэдраABCD, белыми являются грани, принадлежащие поверхностиABCD. Заметим, что ни одна пара чёрных граней не имеет общего ребра. Что же касается белых граней, то есть одно исключение: реброT₁Tявляется общим для двух белых граней. Все грани нашего восьмигранника касаются одного шара. Возьмём в каждой грани точку касания и соединим её со всеми вершинами этой грани. Каждая грань разобьётся на треугольники. При этом каждому чёрному треугольнику соответствует равный ему белый треугольник в смежной грани, имеющий с ним общую сторону. У белых же треугольников одно исключение — пара равных белых треугольников при ребреT₁T.

Рассмотрим сумму углов получившихся чёрных треугольников вокруг точек касания. Эта сумма равна4 ^. 2$\pi$= 8$\pi$. Поскольку каждому чёрному треугольнику соответствует равный ему белый треугольник, то аналогичная сумма для белых треугольников равна8$\pi$+ 2$\varepsilon$, где$\varepsilon$ — угол, под которым видно из точки касания реброT₁T. (Если вписанный шар не пересекает плоскостьPTQ, то эта сумма равна8$\pi$- 2$\varepsilon$.) Но, с другой стороны, сумма углов белых треугольников вокруг точек касания также равна4 ^. 2$\pi$= 8$\pi$. Следовательно,$\varepsilon$= 0, т. е. точкаT₁совпадает сT. Утверждение доказано.

Другое доказательство можно получить, опираясь на такуюлемму. В выпуклый четырёхгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$можно вписать шар тогда и только тогда, когда суммы пар противоположных плоских углов равны:$\alpha$+$\gamma$=$\beta$+$\delta$; если же$\alpha$+$\gamma$<$\beta$+$\delta$, то шар, касающийся плоскостей углов$\beta$,$\gamma$и$\delta$, пересекает плоскость$\alpha$.

Ответ задачи отсутствует