Пусть  f(x) = ax² + bx + c.  По условию  | f(0)| ≤ 1,  | f(¹/₂)| ≤ 1,  | f(1)| ≤ 1,  то есть |c| ≤ 1,  |a + 2b + 4c| ≤ 4,  |a + b + c| ≤ 1.  Отсюда

     |a| = |2(a + b + c) − (a + 2b + 4c) + 2c| ≤ 2|a + b + c| + |a + 2b + 4c| + 2|c| ≤ 8,

     |b| = |(a + 2b + 4c) − 3c − (a + b + c)| ≤ |a + 2b + 4c| + 3|c| + |a + b + c| ≤ 8.

  Следовательно,  |a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + 1 = 17.

  Осталось заметить, что квадратный трёхчлен  8x² − 8x + 1  удовлетворяет условию задачи и для него величина  |a| + |b| + |c|  равна 17.