Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

Все значения квадратного трёхчлена  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.

Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |<i>a| + |b| + |c</i>|?

Подмножество<i>X</i>множества "двузначных" чисел 00, 01, ..., 98, 99 таково, что в любой бесконечной последовательности цифр найдутся две цифры, стоящие рядом и образующие число из<i>X</i>. Какое наименьшее количество чисел может содержаться в<i>X</i>?

Часть клеток бесконечной клетчатой бумаги покрашена в красный цвет, остальные — в белый (не обязательно в шахматном порядке). По красным клеткам прыгает кузнечик, по белым — блоха, причём каждый прыжок может быть сделан на любое расстояние по вертикали или горизонтали. Докажите, что кузнечик и блоха могут оказаться рядом, сделав в общей сложности (в сумме) не более трёх прыжков.

Решите уравнение<div align="CENTER"> (<i>x</i>² + <i>x</i>)² + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0. </div>