Олимпиадные задачи из источника «1987 год» для 3-9 класса - сложность 2-3 с решениями
Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения<i>n</i>числа<i>n</i>,<i>n</i>- 50,<i>n</i>+ 1987 принадлежали трём разным подмножествам?
Доказать, что для любых чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>1987</sub> и положительных чисел <i>b</i><sub>1</sub>,..., <i>b</i><sub>1987</sub> справедливо неравенство <div align="CENTER"><img width="135" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79518/problem_79518_img_2.gif"> ≤ <img width="23" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79518/problem_79518_img_3.gif"> + ... + <img width="43" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79518...
Найти такие 50 натуральных чисел, что ни одно из них не делится на другое, а произведение каждых двух из них делится на любое из оставшихся чисел.
Даны 7 различных цифр. Доказать, что для любого натурального числа<i>n</i>найдётся пара данных цифр, сумма которых оканчивается той же цифрой, что и число.
В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE</i> углы при вершинах <i>B</i> и <i>D</i> – прямые, ∠<i>BCA</i> = ∠<i>DCE</i>, а точка <i>M</i> – середина стороны <i>AE</i>. Доказать, что <i>MB = MD</i>.
В классе организуется турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учащихся этого класса (кроме команды всего класса). Доказать, что каждая команда учащихся будет соревноваться с командой всех остальных учащихся класса.
Школьник хочет вырезать из квадрата размером2<i>n</i>×2<i>n</i>наибольшее количество прямоугольников размером1×(<i>n</i>+ 1). Найти это количество для каждого натурального значения<i>n</i>.
Доказать, что если <i>a > b</i> > 0 и <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>a</i></sub> < <sup><i>y</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, то справедливо неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79510/problem_79510_img_2.gif">
Пусть<i>AB</i>— основание трапеции<i>ABCD</i>. Доказать, что если<i>AC</i>+<i>BC</i>=<i>AD</i>+<i>BD</i>, то трапеция<i>ABCD</i>— равнобокая.
По поляне, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной 100 м, бегает волк. Охотник убивает волка, если стреляет в него с расстояния не более 30 м. Доказать, что охотник может убить волка, как бы быстро тот ни бегал.
Доказать, что из любых 27 различных натуральных чисел, меньших 100, можно выбрать два числа, не являющихся взаимно простыми.
В марте 1987 года учитель решил провести 11 занятий математического кружка. Доказать, что если по субботам и воскресеньям кружок не проводить, то в марте найдутся три дня подряд, в течение которых не будет ни одного занятия кружка.