Олимпиадные задачи из источника «1976 год» - сложность 1-3 с решениями
В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Доказать, что существует такое натуральное число <i>n</i>, большее 1000, что сумма цифр числа 2<sup><i>n</i></sup> больше суммы цифр числа 2<sup><i>n</i>+1</sup>.
Может ли число <i>n</i>! оканчиваться цифрами 19760...0?
На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.
Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.
Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены два наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены два наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее трёх чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.
Можно ли на плоскости расположить конечное число точек таким образом, чтобы у каждой точки было бы ровно три ближайших к ней точки?
Существует ли такое натуральное число<i>n</i>, что сумма цифр числа<i>n</i><sup>2</sup>равна 100?
Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?
Каковы первые четыре цифры числа 1<sup>1</sup> + 2² + 3³ + ... + 999<sup>999</sup> + 1000<sup>1000</sup>?
В остроугольном треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>AM</i>, биссектриса<i>BK</i>и высота<i>CH</i>. Пусть<i>M'K'H'</i>— треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника<i>ABC</i>?
Найти все положительные решения системы уравнений
<img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79311/problem_79311_img_2.gif"><img width="137" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79311/problem_79311_img_3.gif">