Заметим, что

  1) остатки чисел 1, 2, 2², 2³, ... при делении на 9 образуют периодическую последовательность 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, ...;

  2) количество цифр в числе 2ⁿ не превосходит   lg 2ⁿ + 1 = n lg 2 + 1 ≤ ⁿ/₃ + 1.

  Обозначим через S(a) сумму цифр числа a. Предположим, что  S(2ⁿ) ≤ S(2ⁿ⁺¹)  для всех n, не меньших некоторого N, то есть что для всех  n ≥ N  последовательность S(2ⁿ) не убывает. Тогда согласно 1) для  n ≥ N  при переходе от 2ⁿ к 2ⁿ⁺⁶ (за один период) сумма цифр увеличивается не меньше, чем на  1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 27.  Действительно, если a даёт при делении на 9 остаток 8, b – остаток 7 и  a < b,  то разность  b − a  не меньше 8, а сумма цифр числа имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Итак,  S(2ⁿ⁺⁶) ≥ S(2ⁿ) + 27.  Значит, при

n = N + 6k  S(2ⁿ) = S(2^N+6k) ≥ S(2^N) + 27k = ⁹/₂ n − ⁹/₂ N + S(2^N).

  Поскольку все цифры не больше 9, согласно 2),  S(2ⁿ) ≤ 9(ⁿ/₃ + 1). Таким образом, при всех  n = N + 6k  выполнено неравенство  ⁹/₂ n − A ≤ S(2ⁿ) ≤ 3n + 9  (где A – число, не зависящее от n). Но поскольку  ⁹/₂ > 3,  это, очевидно, неверно. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует