Задача
Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?
Решение
Ответ:да, можно. Докажем сначала, что прожектор можно повернуть так, чтобы он освещал соседние вершиныAиBкуба. Если$\angle$AOB< 90o, то из центраOкуба можно осветить отрезокAB. Для этого нужно поместить отрезокABв одной из граней освещаемого прожектором угла, а затем слегка пошевелить прожектор. Остаётся проверить, что$\angle$AOB< 90o. Это следует из того, чтоAO2+BO2=${\frac{3}{4}}$AB2+${\frac{3}{4}}$AB2>AB2. Повернём прожектор так, чтобы он освещал две вершины куба. Плоскости граней освещаемого прожектором угла разбивают пространство на 8 октантов. Так как в одном из них лежат две из восьми вершин куба, найдётся октант, не содержащий ни одной вершины. Этот октант задаёт требуемое положение прожектора. Замечание.Мы не рассматриваем того случая, когда одна из плоскостей граней октантов содержит вершину куба. От этого случая можно избавиться, слегка пошевелив прожектор.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь