Олимпиадные задачи из источника «1976 год» для 11 класса - сложность 1-4 с решениями
В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Существует ли такое натуральное число <i>A</i>, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?
Доказать, что существует такое натуральное число <i>n</i>, большее 1000, что сумма цифр числа 2<sup><i>n</i></sup> больше суммы цифр числа 2<sup><i>n</i>+1</sup>.
На плоскости задано конечное множество точек. Доказать, что в нём найдётся точка, у которой имеется не более трёх ближайших к ней точек из этого же множества.
На сферическом Солнце обнаружено конечное число круглых пятен, каждое из которых занимает меньше половины поверхности Солнца. Эти пятна предполагаются замкнутыми (т.е. граница пятна принадлежит ему) и не пересекаются между собой. Доказать, что на Солнце найдутся две диаметрально противоположные точки, не покрытые пятнами.
Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?
Каковы первые четыре цифры числа 1<sup>1</sup> + 2² + 3³ + ... + 999<sup>999</sup> + 1000<sup>1000</sup>?
В остроугольном треугольнике<i>ABC</i>проведены медиана<i>AM</i>, биссектриса<i>BK</i>и высота<i>CH</i>. Пусть<i>M'K'H'</i>— треугольник с вершинами в точках пересечения трёх проведённых отрезков. Может ли площадь полученного треугольника быть больше 0,499 площади треугольника<i>ABC</i>?
Найти все положительные решения системы уравнений
<img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79311/problem_79311_img_2.gif"><img width="137" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79311/problem_79311_img_3.gif">