Пусть искомое число A  n-значно. Приписав A к самому себе, получим число  AA = (10ⁿ + 1)A.  Пусть это число равно B².

  Предположим, что в разложении числа  10ⁿ + 1  на простые сомножители каждый из них встречается лишь по разу. Так как B² делится на  10ⁿ + 1,  то в этом случае и B делится на  10ⁿ + 1.  Поэтому B² делится и на  (10ⁿ + 1)²,  откуда следует, что A делится на  10n + 1.  Но это невозможно, поскольку

A < 10ⁿ + 1.  Значит, в разложении числа  10ⁿ + 1  хотя бы один простой сомножитель должен встретиться больше одного раза. Мы получили необходимое условие разрешимости задачи: число  10ⁿ + 1  должно быть представимо в виде M²N,  M > 1.

  Докажем, что это условие является достаточным. Пусть N имеет  n – i  знаков. Рассмотрим геометрическую прогрессию {4^kN},  k = 0, 1, ... .  Поскольку первый член этой прогрессии меньше 10ⁿ и знаменатель  4 < 10,  то в ней найдётся член B, принадлежащий промежутку  [10ⁿ–1, 10ⁿ – 1].  Так как B имеет вид 4^kN, то  BB = 4^kN(10n + 1) = 4^kM²N²  – точный квадрат.

  Заметим, что число  10¹¹ + 1 = (11 – 1)¹¹ + 1 = 11¹¹ – 11·11¹⁰ + ... + 11·11  делится на 11². Поэтому подходит  n = 11,  M = 11,  N = 826446281,

A = 4²·826446281 = 13223140496;  1322314049613223140496 = (4·11·826446281)².

Существует.