Олимпиадные задачи из источника «1941 год» - сложность 2 с решениями
Решить в целых числах уравнение <i>x + y = x</i>² – <i>xy + y</i>².
Доказать, что квадрат любого простого числа <i>p</i> > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник <i>ABC</i>.
Решить уравнение:<div align="CENTER"> | <i>x</i> + 1| - | <i>x</i>| + 3| <i>x</i> - 1| - 2| <i>x</i> - 2| = <i>x</i> + 2. </div>
Построить треугольник<i>ABC</i>по точкам<i>M</i>и<i>N</i>— основаниям высот<i>AM</i>и<i>BN</i>— и прямой, на которой лежит сторона<i>AB</i>.
Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами <i>a</i><sub>0</sub><i>x<sup>n</sup></i> + <i>a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x</i> + <i>a<sub>n</sub></i>, принимающий при <i>x</i> = 0 и <i>x</i> = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.
Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.
Дописать к 523... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Точка <i>M</i>, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне<i>BC</i>до пересечения со стороной<i>CA</i>, затем параллельно<i>AB</i>до пересечения с <i>BC</i>, затем параллельно<i>AC</i>до пересечения с <i>AB</i>и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.