Олимпиадные задачи из источника «1941 год» для 8 класса
Построить треугольник<i>ABC</i>по трем точкам<i>H</i><sub>1</sub>,<i>H</i><sub>2</sub>и<i>H</i><sub>3</sub>, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.
Доказать, что квадрат любого простого числа <i>p</i> > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
Найти целое число <i>a</i>, при котором (<i>x</i> – <i>a</i>)(<i>x</i> – 10) + 1 разлагается в произведение (<i>x</i> + <i>b</i>)(<i>x</i> + <i>c</i>) двух множителей с целыми <i>b</i> и <i>c</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник <i>ABC</i>.
Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.
Через точку<i>P</i>, лежащую вне окружности, проводятся всевозможные прямые, пересекающие эту окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых окружностью на этих прямых.
Дан четырёхугольник;<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>— последовательные середины его сторон,<i>P</i>,<i>Q</i>— середины диагоналей. Доказать, что треугольник<i>BCP</i>равен треугольнику<i>ADQ</i>.
Дописать к 523... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Точка <i>M</i>, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне<i>BC</i>до пересечения со стороной<i>CA</i>, затем параллельно<i>AB</i>до пересечения с <i>BC</i>, затем параллельно<i>AC</i>до пересечения с <i>AB</i>и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.