Пусть  (x – a)(x – 10) + 1 = (x + b)(x + c).   Первый способ. Положив  x = – b,  получим (b + a)(b + 10) = –1.  Поэтому либо  b + 10 = 1,  b + a = –1,  то есть  a = 8;  либо  b + 10 = – 1,  b + a = 1,  то есть  a = 12.  В первом случае  (x – 8)(x – 10) + 1 = (x – 9)²,  а во втором –  (x – 12)(x – 10) + 1 = (x – 11)².    Второй способ. Подставив  x = 10,  получим  (b + 10)(с + 10) = 1.  Поэтому  b + 10 = c + 10 = ±1,  то есть либо  b = c = –9,  либо  b = c = – 11.  Подставив  x = 0,  получим 10a + 1 = bc,  откуда находим a.

a = 8 или 12.