Пусть точкиH₁,H₂иH₃симметричны точке пересечения высотHотносительно сторонBC,CAиAB. Построение легко вытекает из следующего факта: если треугольникABCостроугольный, то его вершины являются точками пересечения описанной окружности треугольникаH₁H₂H₃с продолжениями его биссектрис, а если, например, уголAтупой, то из точкиH₁нужно снова провести биссектрису, а из точекH₂иH₃— биссектрисы внешних углов.

Мы ограничимся разбором случая остроугольного треугольника. УглыBHCиCABимеют перпендикулярные стороны, поэтому они составляют в сумме180^o. Значит,$\angle$BH₁C+$\angle$BAC= 180^o, т.е. точкаH₁лежит на описанной окружности треугольникаABC. Аналогично доказывается, что точкиH₂иH₃тоже лежат на описанной окружности треугольникаABC, поэтому описанные окружности треугольниковABCиH₁H₂H₃совпадают. Далее,$\angle$AH₁H₂=$\angle$ACH₂=$\angle$ACH₃=$\angle$AH₁H₃, поэтомуH₁A— биссектриса треугольникаH₁H₂H₃. ДляH₂AиH₃Aдоказательство аналогично.

Ответ задачи отсутствует