Олимпиадные задачи из источника «1935 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Сколькими различными способами можно разложить натуральное число <i>n</i> на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.
а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.
Решить систему уравнений:
<i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 26,
<i>x</i>²<i>y – xy</i>² = 6.
На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.
Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в120<sup><tt>o</tt></sup>; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью15<sup><tt>o</tt></sup>. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.
Решить систему уравнений:
<i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,
<i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),
<i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².
Высота усечённого конуса равна радиусу его большего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее основание. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.
Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.
Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой<i>a</i>, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.
Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом$\varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом$\alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла$\alpha$.