Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» - сложность 4 с решениями
Белорусские республиканские математические олимпиады
НазадНа плоскости дан квадрат со стороной<i> a </i>. Найти объём тела, состоящего из всех точек пространства, расстояние от которых до части плоскости, ограниченной квадратом, не больше<i> a </i>.
В плоскости расположена прямая<i> y </i>и прямоугольный треугольник<i> ABC </i>с катетами<i> AC=</i>3<i>; BC=</i>4. Вершина<i> C </i>находится на расстоянии 10 от прямой<i> y </i>. Угол между<i> y </i>и направлением катета<i> AC </i>равен<i> α </i>. Надо определить угол<i> α </i>, при котором поверхность, полученная вращением треугольника<i> ABC </i>вокруг прямой<i> y </i>, будет наименьшей.
Ребро правильного тетраэдра равно<i> a </i>. Найти стороны и площадь сечения, параллельного двум его скрещивающимся рёбрам и отстоящего от центра тетраэдра на расстояние<i> b </i>, причём0<i><b<a<img src="/storage/problem-media/109148/problem_109148_img_2.gif">/</i>4.
Дан ряд чисел<i> 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., </i>каждое из которых, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Доказать, что каждое натуральное число<i> n>2 </i>равно сумме нескольких различных чисел указанного ряда.
Провести хорду данной окружности, параллельную данному диаметру, так, чтобы эта хорда и диаметр были основаниями трапеций с наибольшим периметром.
На диагонали<i> AC </i>нижней грани единичного куба<i> ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>отложен отрезок<i> AE </i>длины<i> l </i>. На диагонали<i> B<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>его верхней грани отложен отрезок<i> B<sub>1</sub>F </i>длиной<i> ml </i>. При каком<i> l </i>(и фиксированном<i> m>0 </i>) длина отрезка<i> EF </i>будет наименьшей?
На окружности даны три точки<i> A,B,C </i>. Построить (циркулем и линейкой) на этой окружности четвёртую точку<i> D </i>так, чтобы в полученный четырёхугольник можно было бы вписать окружность.
Доказать, что если <center><i>
(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,
</i></center> то<i> x<sup>y</sup>y<sup>x</sup>=z<sup>y</sup>y<sup>z</sup>=x<sup>z</sup>z<sup>x</sup> </i>.
Дан острый угол<i> ABC </i>. На стороне<i> BC </i>отложены отрезки<i> BD= </i>4 см и<i> BE= </i>14 см. Найти на стороне<i> BA </i>такие две точки<i> M </i>и<i> N </i>, чтобы<i> MN=3 </i>см и<i> <img src="/storage/problem-media/108981/problem_108981_img_2.gif"> DMN=<img src="/storage/problem-media/108981/problem_108981_img_2.gif"> MNE </i>.
В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона.</i>)