Прямая Симсона — классическая олимпиадная задача по планиметрии
Нет ответа
Задача
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)
Решение
Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P1, P2, P3 — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, AC соответственно.
Точки A, P1, M и P3 лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P1MA.
ТочкиC,P2,P3иMлежат на окружности
с диаметромMC. Поэтому
$\displaystyle \angle$P2MC = $\displaystyle \angle$P2P3C.
Каждый из углов
P1MP2 и AMC дополняет угол ABC до
180o.
Поэтому
$\displaystyle \angle$P1MP2 = $\displaystyle \angle$AMC.
Тогда
$\displaystyle \angle$P1MA = $\displaystyle \angle$P2MC.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P2P3C,
.
Следовательно, точкиP1,P3иP2лежат на одной прямой.
Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC,
лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P1, P2, P3 —
основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB,
BC, AC соответственно.
Точки A, P1, M и P3 лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P1MA.
ТочкиC,P2,P3иMлежат на окружности
с диаметромMC. Поэтому
$\displaystyle \angle$P2MC = $\displaystyle \angle$P2P3C.
Каждый из углов
P1MP2 и AMC дополняет угол ABC до
180o.
Поэтому
$\displaystyle \angle$P1MP2 = $\displaystyle \angle$AMC.
Тогда
$\displaystyle \angle$P1MA = $\displaystyle \angle$P2MC.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P2P3C,
.
Следовательно, точкиP1,P3иP2лежат на одной прямой.
Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC,
лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P1, P2, P3 —
основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB,
BC, AC соответственно.
Точки A, P1, M и P3 лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P1MA.
ТочкиC,P2,P3иMлежат на окружности
с диаметромMC. Поэтому
$\displaystyle \angle$P2MC = $\displaystyle \angle$P2P3C.
Каждый из углов
P1MP2 и AMC дополняет угол ABC до
180o.
Поэтому
$\displaystyle \angle$P1MP2 = $\displaystyle \angle$AMC.
Тогда
$\displaystyle \angle$P1MA = $\displaystyle \angle$P2MC.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P2P3C,
.
Следовательно, точкиP1,P3иP2лежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет