Задача
Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)
Решение
Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P1, P2, P3 — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, AC соответственно.
Точки A, P1, M и P3 лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P1MA.
ТочкиC,P2,P3иMлежат на окружности
с диаметромMC. Поэтому
$\displaystyle \angle$P2MC = $\displaystyle \angle$P2P3C.
Каждый из углов
P1MP2 и AMC дополняет угол ABC до
180o.
Поэтому
$\displaystyle \angle$P1MP2 = $\displaystyle \angle$AMC.
Тогда
$\displaystyle \angle$P1MA = $\displaystyle \angle$P2MC.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P2P3C,
.
Следовательно, точкиP1,P3иP2лежат на одной прямой.
Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC,
лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P1, P2, P3 —
основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB,
BC, AC соответственно.
Точки A, P1, M и P3 лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P1MA.
ТочкиC,P2,P3иMлежат на окружности
с диаметромMC. Поэтому
$\displaystyle \angle$P2MC = $\displaystyle \angle$P2P3C.
Каждый из углов
P1MP2 и AMC дополняет угол ABC до
180o.
Поэтому
$\displaystyle \angle$P1MP2 = $\displaystyle \angle$AMC.
Тогда
$\displaystyle \angle$P1MA = $\displaystyle \angle$P2MC.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P2P3C,
.
Следовательно, точкиP1,P3иP2лежат на одной прямой.
Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC,
лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P1, P2, P3 —
основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB,
BC, AC соответственно.
Точки A, P1, M и P3 лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P1MA.
ТочкиC,P2,P3иMлежат на окружности
с диаметромMC. Поэтому
$\displaystyle \angle$P2MC = $\displaystyle \angle$P2P3C.
Каждый из углов
P1MP2 и AMC дополняет угол ABC до
180o.
Поэтому
$\displaystyle \angle$P1MP2 = $\displaystyle \angle$AMC.
Тогда
$\displaystyle \angle$P1MA = $\displaystyle \angle$P2MC.
Следовательно,
$\displaystyle \angle$P1P3A = $\displaystyle \angle$P2P3C,
.
Следовательно, точкиP1,P3иP2лежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет