Олимпиадные задачи из источника «2001/02» - сложность 1 с решениями

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b+ b^a(где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵+ 5². Является ли изумительным число 2006?

Даны русские слова:<b>люк</b>,<b>яр</b>,<b>ель</b>,<b>лен</b>,<b>лезь</b>. Определите, что получится, если звуки, из которых состоят эти слова, произнести в обратном порядке.

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены.

Сколько стоит сейчас один штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Каждая команда играет с каждой из остальных по 2 матча.

  а) Сколько матчей за сезон должен сыграть "Уралан"?

  б) Сколько всего матчей играется за один сезон?

Лена и Ира покупали на рынке виноград. Когда взвешивали Ленину покупку, весы показывали два килограмма, когда Ирину --- то три. Потом они вместе положили свой виноград на весы, и стрелка остановилась на 4,5 кг. Сколько на самом деле весили их покупки?

Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?

Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нем 20 членов) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один -- взяточник. Сколько в правительстве взяточников?

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.   а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.   б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

У кассира есть только 72-рублевые купюры, а у вас – только 105-рублевые (у обоих в неограниченном количестве).

  а) Сможете ли вы уплатить кассиру один рубль?

  б) А 3 рубля?

Рейс 608 "Аэрофлота" вылетает из Москвы в 12:00, а прилетает в Бишкек в 18:00 (по местному времени). Обратный рейс 607 вылетает в 8:00, а прилетает в 10:00. Сколько времени длится полет?

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.

  а) Какая последняя цифра этого числа?

  б) Каковы десять последних цифр этого числа?

Какая из дробей больше: ²⁹/₇₃ или ²⁹¹/₇₃₁?