Олимпиадные задачи из источника «5. Часы с кукушкой»

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  биссектриса <i>BD</i> в два раза короче биссектрисы <i>AE</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Когда Клайв поступил в математическую школу, ему подарили новые часы, на которых была ещё секундная стрелка.

Сколько раз за сутки все три стрелки на таких часах совпадут?

Очень скучно смотреть на черно-белый циферблат, поэтому Клайв ровно в полдень закрасил число 12 красным цветом и решил через каждые 57 часов закрашивать текущий час в красный цвет.

  а) Сколько чисел на циферблате окажутся покрашенными?

  б) Сколько окажется красных чисел, если Клайв будет красить их каждый 1913-й час?

После того, как Клайв собрал и завел свои часы (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/132798">132798</a>), поставив их по дедушкиным, они стали идти в обратную сторону. Сколько раз в сутки они покажут правильное время?

(Продолжение задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/132796">132796</a>)

  Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?

Клайв прокрутил минутную стрелку, так же как в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/132796">132796</a>.)

  а) Сколько раз за это время минутная стрелка совпала с часовой?

  б) В какие моменты это происходило?

Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?