Олимпиадные задачи из источника «1989 год» - сложность 3 с решениями
Пусть <i>M</i> – внутренняя точка прямоугольника <i>ABCD</i>, а <i>S</i> – его площадь. Докажите, что <i>S ≤ AM·CM + BM·DM</i>.
На плоскости дано <i>N</i> прямых (<i>N</i> > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие <i>N</i>, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.
а) Докажите, что если в 3<i>n</i> клетках таблицы 2<i>n</i>×2<i>n</i> расставлены 3<i>n</i> звёздочек, то можно вычеркнуть <i>n</i> столбцов и <i>n</i> строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2<i>n</i>×2<i>n</i> можно расставить 3<i>n</i> + 1 звёздочку так, что при вычеркивании любых <i>n</i> строк и любых <i>n</i> столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.
Докажите, что если <i>K</i> чётно, то числа от 1 до <i>K</i> – 1 можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на <i>K</i>.
Выпуклые четырёхугольники <i>ABCD</i> и <i>PQRS</i> вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если <i>ABCD</i> – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхуголь...
В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).
Числа 1, 2, 3, ..., <i>N</i> записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число <i>i</i>, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел <i>i</i> + 1 и <i>i</i> – 1. Сколькими способами это можно сделать?
Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (<i>перестройку</i>): взяв пару треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i> с общей стороной, заменить их на треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i>. Пусть <i>P</i>(<i>n</i>) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) <i>P</i>(<i>n</i>) ≥ <i>n</i> – 3;
б) <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 7;
в) <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 10 при <i>n</i> ≥ 13.
Три треугольника – белый, зелёный и красный – имеют общую внутреннюю точку <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы точка <i>M</i> находилась внутри или на границе треугольника, образуемого выбранными вершинами.