Олимпиадные задачи из источника «выпуск 6»

Пусть <i>M</i> – внутренняя точка прямоугольника <i>ABCD</i>, а <i>S</i> – его площадь. Докажите, что <i>S ≤ AM·CM + BM·DM</i>.

В стране 1988 городов и 4000 дорог.

Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).

Числа 1, 2, 3, ..., <i>N</i> записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число <i>i</i>, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  <i>i</i> + 1  и  <i>i</i> – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

Докажите, что  <i>a</i>²<i>pq + b</i>²<i>qr + c</i>²<i>rp</i> ≤ 0,  если <i>a, b, c</i> – стороны треугольника; а <i>p, q, r</i> – любые числа, удовлетворяющие условию  <i>p + q + r</i> = 0.

Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (<i>перестройку</i>): взяв пару треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i> с общей стороной, заменить их на треугольники <i>ABC</i> и <i>ACD</i>. Пусть <i>P</i>(<i>n</i>) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что

  а)  <i>P</i>(<i>n</i>) ≥ <i>n</i> – 3;

  б)  <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 7;

  в)  <i>P</i>(<i>n</i>) ≤ 2<i>n</i> – 10  при  <i>n</i> ≥ 13.