Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8-9 классов: выпуклые четырёхугольники и условия "подхода"
Задача
Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.
Решение
Будем считать, что P лежит на AB, Q – на BC, R – на CD и S – на DA. Ясно, что каждый угол картонного четырёхугольника равен половине развёрнутого угла, то есть это – прямоугольник. а) Пусть все четыре вершины A, B, C, D после перегибания попадут в одну точку O. Тогда AP = OP = BP, то есть P – середина стороны AB. Аналогично Q – середина BC, то есть PQ – средняя линия треугольника ABC. Значит, AC || PQ. Аналогично BD || QR, а PQ ⊥ QR. Итак, в этом случае диагонали бумажного четырёхугольника перпендикулярны.
Предположим, что A и B после перегибания попадут в разные точки E и F, причём E лежит на отрезке PF. При этом угол SEF должен быть покрыт при отражении треугольника SDR, так что при сгибании D попадёт в точку E. Следовательно, E и F лежат на диагонали PR и
∠BPR = 2∠QPR = 2∠PRS = ∠PRD, то есть AB || CD. б) Пусть угол A – острый и AB ≤ BC. В качестве точек P и R возьмём середины сторон AB и CD. На отрезке PR как на диаметре построим окружность, Q – точка её пересечения со стороной BC (если таких точек две, возьмём ближайшую к точке C), а S – диаметрально противоположная точка. Мы получили прямоугольник PQRS, вписанный в параллелограмм ABCD (см. рисунок). Докажем, что он – подходящий.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь