Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 7 класса
Лист клетчатой бумаги размером<i>N</i>×<i>N</i>раскрасили в<i>N</i>цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих<i>N</i>цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено а)<i>N</i><sup>2</sup>- 1 клетка? б)<i>N</i><sup>2</sup>- 2 клетки? в)<i>N</i>клеток?
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?
<i>n</i> человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом <i>n</i>.
На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено<nobr>14 монет.</nobr>Эксперт обнаружил, что семь из<nobr>них —</nobr>фальшивые,<nobr>остальные —</nobr>настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а<nobr>какие —</nobr>настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а<nobr>остальные —</nobr>настоящие. Сможет ли он это сделать?
Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число <i>m</i>, обладающее таким свойством: какие бы <i>m</i> из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся 1000 – <i>m</i> чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.
Найдите все решения уравнения <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>z</i></sub> = 1 в целых числах, отличных <nobr>от 1.</nobr>
На кафтане площадью 1 размещены<nobr>5 заплат,</nobr>площадь каждой из которых не<nobr>меньше <sup>1</sup>/<sub>2</sub>.</nobr>Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не<nobr>меньше <sup>1</sup>/<sub>5</sub>.</nobr>