Олимпиадные задачи из источника «1972 год» для 1-9 класса - сложность 5 с решениями

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:<ul class="zad"><li>некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; </li><li>некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.</li></ul>

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа <i>a, b</i>, α и β, чтобы прямоугольник размером <i>a</i>×<i>b</i> можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером

а) 20×15;   б) 5×8;   в) 6,25×15;   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73679/problem_73679_img_2.gif">

Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)