Олимпиадные задачи из источника «1970 год» для 4-10 класса - сложность 5 с решениями

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1. все грани равновелики;

2. каждое ребро равно противоположному;

3. все грани равны;

4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5. суммы углов при каждой вершине равны;

6. сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i>^o </i>;

7. развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8. все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9. ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10. параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11...

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

Дана сфера<nobr>радиуса 1.</nobr>На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_<i>n</i><nobr>радиуса <i>r</i></nobr><nobr>(<i>n</i> ≥ 3).</nobr><nobr>Окружность γ₀</nobr>касается всех окружностей γ₁, ..., γ_<i>n</i>; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁и γ₂, γ₂и γ₃, ..., γ_<i>n</i><nobr>и γ₁.</nobr>При каких<i>n</i>это возможно? Вычислите соответствующий<nobr>радиус <i...