Каждой окружности на сфере можно сопоставить ее "центр на сфере"– конец радиуса сферы, проходящего через центр окружности (никогда не лежащий на сфере). Эту точку мы будем называть "центром" окружности в кавычках, подчеркивающих, что это не "обычный" центр (рис. 1 а ). Заметим для точности, что такого определенного "центра" нет у окружностей больших кругов сферы, у которых центр совпадает с центром сферы. Но окружности, о которых идет речь в условии задачи, заведомо не могут иметь радиус1, потому что окружности двух больших кругов не могут друг друга касаться, они всегда пересекают друг друга в двух диаметрально противоположных точках сферы.

Точка касания двух окружностей, расположенных на сфере (см. рис. 1 б ), лежит в плоскости P, проходящей через центры окружностей и центр сферы. Действительно, обе окружности симметричны относительно плоскости P , и если бы они имели общую точку по одну сторону плоскости P , то должны были бы иметь и симметричную ей общую точку по другую сторону P , а у них всего одна общая точка. Если эти окружности имеют один и тот же радиус r , то расстояние между их "центрами" равно2r , потому что на окружности большого круга, получающейся в переселении сферы и плоскости P (рис. 1 в ), диаметры наших окружностей (черные отрезки) и отрезок, соединяющий их "центры" (красный), стягивают равные дуги.

Пусть A₀, A₁, A₂, ..., A_n – "центры" окружностей γ₀, γ₁, ...,γ_n , окоторых идет речь в условии задачи. Тогда A₀ A₁=A₀ A₂=...=A₀ A_n=A₁ A₂=A₂ A₃=...=A_n A₁ 2r , другими словами, A₀ A₁ A₂ ... A_n – вписанная в данную сферу радиуса1правильная n-угольная пирамида с вершиной A₀ , у которой все боковые грани – равносторонние треугольники со сторонами, равными2r. Итак, достаточно построить пирамиду, для которой выполнены эти условия, тогда точки A₀ , A₁ , ... , A_n будут определять окружности радиуса r с "центрами" A₀ , A₁ , ... , A_n , которые, очевидно, удовлетворяют условию задачи. Поскольку сумма плоских углов выпуклого n-гранного угла с вершиной A₀ меньше360°:

n · 60° = A₁ A₀ A₂+ A₂ A₀ A₃+...+ A_n A₀ A₁ < 360°,

то n < 6. Для n = 3, 4и5нетрудно построить нужные пирамиды. Пусть O – центр сферы. Высота пирамиды h и длина ее ребер2r находятся из следующих соображений: радиус KA₁ основания пирамиды – катет Δ A₀ KA₁ и боковая сторона Δ A₁ KA₂, где A₁ KA₂=2π/n (рис.2 a, б),

= r.

Из Δ A₀OA₁имеем r = .

Отсюда h = 2r² , r = .

Таким образом,

(формулу sin = можно вывести из рис.3, с помощью которого строятся правильный десятиугольник и правильный пятиугольник): Зная r и h, мы можем построить правильные пирамиды, которые в силу приведенных соотношений будут удовлетворять вcем нужным условиям: все грани – равносторонние треугольники со стороной2r , радиус описанной сферы –1. Построенные пирамиды тесно связаны с правильными многогранниками, грани которых – треугольники. Таких многогранников всего три: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр (рис.4), и если от каждого из этих многогранников отрезать "верхушку" – все грани, примыкающие к одной вершине, – то получатся как раз такие три пирамиды, которыми мы занимались. Подробнее о правильных многогранниках и о построении пятиугольника можно прочитать в прекрасной книге Г.С.Кокстера "Введение в геометрию" ("Наука", 1966, гл.10 "Пять Платоновых тел" и гл.11 "Золотое сечение и филлотаксис").

Заметим еще, что ограничение n 3 в условии задачи вполне можно было бы заменить на n 2. Соответствующее расположение трех окружностей γ0, γ1, γ2 существует (рис.5; "центры" окружностей расположены о вершинах правильного треугольника, вписанного в больший круг), и для вычисления r, как это ни странно, годится та же формула, которую мы доказали для 3 n 5 r = =.

n=3, 4 и 5.