Олимпиадные задачи из источника «выпуск 5» для 10 класса

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

В множестве, состоящем из <i>n</i> элементов, выбрано 2^<i>n</i>–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.

Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Для любого натурального числа <i>n</i>, большего единицы, квадрат отношения произведения первых <i>n</i> нечётных чисел к произведению первых <i>n</i> чётных чисел больше числа ¹/_4<i>n</i>, но меньше числа ³/_8<i>n</i>. Докажите это.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.