Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Четырехугольник» для 4-8 класса - сложность 3-5 с решениями

В параллелограмм <i>P</i>₁ вписан параллелограмм <i>P</i>₂, а в параллелограмм <i>P</i>₂ вписан параллелограмм <i>P</i>₃, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i>₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i>₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i>₃.

Отрезок <i>KL</i>проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника <i>ABCD</i>, а концы его лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>KL</i>не превосходит длины одной из диагоналей.

Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i>_ABCD.

Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABCD< 4<i>S</i>_AMN.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что  <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.