Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Метод ГМТ» - сложность 3 с решениями

Дан четырехугольник <i>ABCD</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>и <i>AD</i><<i>DC</i>. Точка <i>M</i>лежит на диагонали <i>BD</i>. Докажите, что <i>AM</i><<i>MC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>таковы, что для любой четвертой точки <i>M</i>либо <i>MA</i>$\leq$<i>MB</i>, либо <i>MA</i>$\leq$<i>MC</i>. Докажите, что точка <i>A</i>лежит на отрезке <i>BC</i>.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.