Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Метод ГМТ» - сложность 2 с решениями

Внутри выпуклого многоугольника взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от <i>Q</i>, чем от <i>P</i>.

Пусть <i>D</i>и <i>E</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>M</i>лежит на стороне <i>AC</i>. Докажите, что если <i>MD</i><<i>AD</i>, то <i>ME</i>><i>EC</i>.

Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие точку <i>O</i>с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.