Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Вписанный угол» для 8 класса

Найдите ГМТ <i>X</i>, лежащих внутри правильного треугольника <i>ABC</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>XAB</i>+$\angle$<i>XBC</i>+$\angle$<i>XCA</i>= 90^<tt>o</tt>.

На плоскости даны четыре точки. Найдите множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки.

а) На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁движутся по той же окружности так, что величина дуги <i>A</i>₁<i>B</i>₁остается постоянной; <i>M</i> — точка пересечения прямых <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁. Найдите ГМТ <i>M</i>. б) В окружность вписаны треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>неподвижен, а треугольник <i>A</i>&lt...

Точка <i>P</i>перемещается по описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AP</i>и <i>BD</i>пересекаются в точке <i>Q</i>, а прямая, проходящая через точку <i>Q</i>параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>BP</i>в точке <i>X</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>.

На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точка <i>C</i>перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников <i>ABC</i>.