Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

Диагональ <i>AC</i>разбивает четырехугольник <i>ABCD</i>на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали <i>AC</i>в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников <i>ABD</i>и <i>BCD</i>тоже касаются диагонали <i>BD</i>в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

Продолжения сторон четырехугольника <i>ABCD</i>, вписанного в окружность с центром <i>O</i>, пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>, а его диагонали пересекаются в точке <i>S</i>. а) Расстояния от точек <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>до точки <i>O</i>равны <i>p</i>,<i>q</i>и <i>s</i>, а радиус описанной окружности равен <i>R</i>. Найдите длины сторон треугольника <i>PQS</i>. б) Докажите, что высоты треугольника <i>PQS</i>пересекаются в точке <i>O</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный; <i>H</i>_cи <i>H</i>_d — ортоцентры треугольников <i>ABD</i>и <i>ABC</i>. Докажите, что <i>CDH</i>_c<i>H</i>_d — параллелограмм.

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Окружности<i>S</i>₁и<i>S</i>₂,<i>S</i>₂и<i>S</i>₃,<i>S</i>₃и<i>S</i>₄,<i>S</i>₄и<i>S</i>₁касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников. а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный. б) Докажите, что если<i>r</i>_a,<i>r</i>_b,<i>r</i>_c,<i>r</i>_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>, то<div align="CENTER">...

На стороне<i>BC</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки<i>K</i>₁и<i>K</i>₂. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников<i>ABK</i>₁и<i>ACK</i>₂общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников<i>ABK</i>₂и<i>ACK</i>₁пересекаются в одной точке.

Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам <i>B</i>и <i>D</i>, описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: <i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>AD</i>,<i>AP</i>+<i>CQ</i>=<i>AQ</i>+<i>CP</i>или <i>BP</i>+<i>BQ</i>=<i>DP</i>+<i>DQ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены отрезки <i>PQ</i>и <i>RS</i>, параллельные стороне <i>AC</i>, и отрезок <i>BM</i>(рис.). Трапеции <i>RPKL</i>и <i>MLSC</i>описанные. Докажите, что трапеция <i>APQC</i>тоже описанная.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57016/problem_57016_img_2.gif" border="1"></div>

Углы при основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>равны 2$\alpha$и 2$\beta$. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда <i>BC</i>/<i>AD</i>=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$.

Четырехугольник <i>ABCD</i>описан около окружности с центром <i>O</i>. В треугольнике <i>AOB</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁, а в треугольнике <i>COD</i> — высоты <i>CC</i>₁и <i>DD</i>₁. Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁лежат на одной прямой.

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность; <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O</i>₃, <i>O</i>₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>, <i>BCD</i>, <i>CDA</i> и <i>DAB</i>. Докажите, что <!-- MATH $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ --> <i>O</i>₁<i>O</i>₂<i>O</i>₃<i>O</i>₄ -- прямоугольник.

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.