Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Треугольники» для 3-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Углы треугольника <i>ABC</i> удовлетворяют соотношению  sin²<i>A</i> + sin²<i>B</i> + sin²<i>C</i> = 1.

Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Докажите, что если  ∠<i>A</i> = 45°,  то <i>B</i>₁<i>C</i>₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>.

Через центр <i>O</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая прямые <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

Докажите, что одно из чисел ¹/_<i>OA</i>₁, ¹/_<i>OB</i>₁ и ¹/_<i>OC</i>₁ равно сумме двух других.

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника <i>ABC</i>, подобен треугольнику <i>ABC</i>.

Каким соотношением связаны длины сторон треугольника <i>ABC</i>?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Пусть <i>O, O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABC, ABD</i> и <i>ACD</i>.

Докажите, что <i>OO</i>₁ = <i>OO</i>₂.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂. Докажите, что середина стороны <i>BC</i> равноудалена от прямых <i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂.

Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> касается гипотенузы <i>AB</i> в точке <i>P, CH</i> – высота треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ACH</i> лежит на перпендикуляре, опущенном из точки <i>P</i> на <i>AC</i>.

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона</i>). б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки <i>P</i> на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника.

Окружность радиуса <i>u_a</i> вписана в угол <i>A</i> треугольника <i>ABC</i>, окружность радиуса <i>u_b</i> вписана в угол <i>B</i>; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_2.gif">   равен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/56895/problem_56895_img_3.gif">  где <i>p</i> – полупериметр треугольника <i>ABC</i>.

На сторонах правильного треугольника <i>ABC</i> как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  <i>A</i>₁<i>BC, AB</i>₁<i>C</i> и <i>ABC</i>₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые <i>BC</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i> пересекаются в точке <i>A</i>₂, <i>AC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>C</i> – в точке <i>B</i>₂, <i>AB</i>₁ и <i>A</i><sub>1<...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ так, что  <i>AB</i>₁ : <i>B</i>₁<i>C = cⁿ</i> : <i>aⁿ,  BC</i>₁ : <i>C</i>₁<i>A = aⁿ</i> : <i>bⁿ</i>  и  <i>CA</i>₁ : <i>A</i>₁<i>B = bⁿ</i> : <i>cⁿ</i>  (<i>a, b, c</i> – длины стор...

В каждый из углов треугольника <i>ABC</i> вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> треугольника <i>ABC</i> (или на их продолжениях) взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ так, что  ∠(<i>CC</i>₁, <i>AB</i>) = ∠(<i>AA</i>₁, <i>BC</i>) = ∠(<i>BB</i>₁, <i>CA</i>) = α.  Прямые <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁, <i>CC</i>₁ и <i>AA</i>₁...

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты с центрами <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>₁, <i>b</i>₁ и <i>c</i>₁ – длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>S</i> и <i>S</i>₁ – площади треугольников <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Докажите,...

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены квадраты <i>ABC</i>₁<i>D</i>₁ и <i>A</i>₂<i>BCD</i>₂.

Докажите, что точка пересечения прямых <i>AD</i>₂ и <i>CD</i>₁ лежит на высоте <i>BH</i>.

Точка <i>E</i> – середина той дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, на которой лежит точка <i>C; C</i>₁ – середина стороны <i>AB</i>. Из точки <i>E</i> опущен перпендикуляр <i>EF</i> на <i>AC</i>. Докажите, что:

  а) прямая <i>C</i>₁<i>F</i> делит пополам периметр треугольника <i>ABC</i>;

  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

а) В треугольниках <i>ABC</i>и <i>A'B'C'</i>равны стороны<i>AC</i>и<i>A'C'</i>, углы при вершинах<i>B</i>и<i>B'</i>и биссектрисы углов<i>B</i>и<i>B'</i>. Докажите, что эти треугольники равны (точнее говоря, треугольник<i>ABC</i>равен треугольнику<i>A'B'C'</i>или треугольнику<i>C'B'A'</i>). б) Через точку<i>D</i>биссектрисы<i>BB</i>₁угла<i>ABC</i>проведены прямые<i>AA</i>₁и<i>CC</i>₁(точки<i>A</i>₁и<i>C</i><sub>1</s...

Докажите, что проекции вершины <i>A</i> треугольника <i>ABC</i> на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой.

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AB</i> больше стороны <i>BC</i>. Пусть <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – середины сторон <i>BC</i> и <i>AC</i>, а <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами <i>AC</i> и <i>AB</i>. Докажите, что отрезки <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>B</i>₂<i>C</i>₂ пересекаются в точке <i>X</i>, лежащей на биссектрисе угла <i>B</i>.

Пусть  <i>x</i> = sin 18°.  Докажите, что  4<i>x</i>² + 2<i>x</i> = 1.

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

б) Пусть <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>, <i>R</i> – радиус описанной окружности. Докажите, что  <i>AH</i>² + <i>BC</i>² = 4<i>R</i>²  и  <i>AH = BC</i> |ctg α|.

Через точку <i>O</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная <i>AB</i>, пересекает <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а прямые, параллельные <i>AC</i> и <i>BC</i>, пересекают <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MN = AM + BN</i>  и периметр треугольника <i>OPQ</i> равен длине отрезка <i>AB</i>.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>O</i> и построены точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, симметричные <i>O</i> относительно середин сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i>. Докажите, что треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ равны и прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.

Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.