Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Прямая Симсона» для 6-10 класса

а) Докажите, что проекции точки <i>P</i>описанной окружности четырехугольника <i>ABCD</i>на прямые Симсона треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>BAC</i>лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника). б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного <i>n</i>-угольника как прямую, содержащую проекции точки <i>P</i>на прямые Симсона всех (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин <i>n</i>-угольника.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность; <i>l</i>_a — прямая Симсона точки <i>A</i>относительно треугольника <i>BCD</i>, прямые <i>l</i>_b,<i>l</i>_cи <i>l</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>; <i>P</i> — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>делит отрезок <i>PH</i>пополам.

Хорда <i>PQ</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна стороне <i>BC</i>. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>параллельна прямой <i>AQ</i>.

Точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>P</i>лежат на окружности с центром<i>O</i>. Стороны треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁параллельны прямым<i>PA</i>,<i>PB</i>,<i>PC</i>(<i>PA</i>|<i>B</i>₁<i>C</i>₁и т. д.). Через вершины треугольника<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁проведены прямые, параллельные сторонам треугольника<i>ABC</i>. а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке<i>P</i&...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>P</i>и <i>Q</i>лежат на окружности с центром <i>O</i>, причем углы между вектором $\overrightarrow{OP}$и векторами $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$и $\overrightarrow{OQ}$равны $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и ($\alpha$+$\beta$+$\gamma$)/2. Докажите. что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>параллельна <i>OQ</i>.

Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156958">5.106</a>).

Точка <i>P</i>движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что при этом прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой <i>P</i>.

На окружности фиксированы точки <i>P</i>и <i>C</i>; точки <i>A</i>и <i>B</i>перемещаются по окружности так, что угол <i>ACB</i>остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки <i>P</i>относительно треугольников <i>ABC</i>касаются фиксированной окружности.

Пусть <i>A</i>₁и <i>B</i>₁ — проекции точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>на прямые <i>BC</i>и <i>AC</i>. Докажите, что длина отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁равна длине проекции отрезка <i>AB</i>на прямую <i>A</i>₁<i>B</i>₁.

а) Из точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>опущены перпендикуляры <i>PA</i>₁и <i>PB</i>₁на прямые <i>BC</i>и <i>AC</i>. Докажите, что <i>PA</i>^.<i>PA</i>₁= 2<i>Rd</i>, где <i>R</i> — радиус описанной окружности, <i>d</i> — расстояние от точки <i>P</i>до прямой <i>A</i>₁<i>B</i>₁. б) Пусть $\alpha$ — угол между прямыми <i>A</i>₁<i>B</i>₁и <i>BC</i>. Докажите, что cos$\alpha$=<i>PA&...

а) Из точки <i>P</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>проведены прямые <i>PA</i>₁,<i>PB</i>₁и <i>PC</i>₁под данным (ориентированным) углом $\alpha$к прямым <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>соответственно (точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>). Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой. б) Докажите, что пр...

В треугольнике <i>ABC</i>проведена биссектриса <i>AD</i>и из точки <i>D</i>опущены перпендикуляры <i>DB'</i>и <i>DC'</i>на прямые <i>AC</i>и <i>AB</i>; точка <i>M</i>лежит на прямой <i>B'C'</i>, причем <i>DM</i>$\perp$<i>BC</i>. Докажите, что точка <i>M</i>лежит на медиане <i>AA</i>₁.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки <i>P</i> описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (<i>прямая Симсона</i>). б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки <i>P</i> на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника.