Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Прямая Симсона» для 10-11 класса

а) Докажите, что проекции точки <i>P</i>описанной окружности четырехугольника <i>ABCD</i>на прямые Симсона треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>BAC</i>лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника). б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного <i>n</i>-угольника как прямую, содержащую проекции точки <i>P</i>на прямые Симсона всех (<i>n</i>- 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин <i>n</i>-угольника.

Высоты треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>H</i>; <i>P</i> — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>делит отрезок <i>PH</i>пополам.

Точка <i>P</i>движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что при этом прямая Симсона точки <i>P</i>относительно треугольника <i>ABC</i>поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой <i>P</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>лежат на одной прямой, точка <i>P</i> — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>ABP</i>,<i>BCP</i>,<i>ACP</i>и точка <i>P</i>лежат на одной окружности.