Задача
Даны треугольникABCи прямая l. Обозначим через A1,B1,C1середины отрезков, высекаемых на прямой lуглами A,B,C, а через A2,B2,C2 — точки пересечения прямыхAA1и BC,BB1и AC,CC1и AB. Докажите, что точки A2,B2,C2лежат на одной прямой.
Решение
Сделав проективное преобразование с исключительной прямой, параллельной lи проходящей через точку A, мы можем считать, что точка Aбесконечно удаленная, т. е. прямыеABи ACпараллельны. При этом согласно задаче 30.14, б) точки A1,B1,C1по-прежнему будут серединами соответствующих отрезков, так как эти отрезки лежат на прямой, параллельной исключительной. Два треугольника, образованные прямыми l,AB,BCи l,AC,BC, гомотетичны, следовательно, прямыеBB1и CC1, являющиеся медианами этих треугольников, параллельны. Таким образом, четырехугольникBB2CC2является параллелограммом, поскольку у него параллельны противоположные стороны. Остается заметить, что точка A2лежит на середине диагоналиBCэтого параллелограмма, а значит, и на диагоналиB2C2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь