Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 2-7 класса - сложность 2-5 с решениями

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

На каждой стороне четырехугольника <i>ABCD</i>взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56664/problem_56664_img_2.gif" border="1"></div>

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вневписанная окружность треугольника<i>ABD</i>касается продолжений сторон <i>AD</i>и <i>AB</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точки пересечения отрезка <i>MN</i>с <i>BC</i>и <i>CD</i>лежат на вписанной окружности треугольника <i>BCD</i>.

К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами <i>R</i>и <i>r</i>пересекает их общие внешние касательные в точках <i>A</i>и <i>B</i>и касается одной из окружностей в точке <i>C</i>. Докажите, что <i>AC</i>^.<i>CB</i>=<i>Rr</i>.

Четырехугольник <i>ABCD</i>обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол <i>BAD</i>и касающаяся продолжений сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>BC</i>=<i>AD</i>+<i>DC</i>.

На основании <i>AB</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>взята точка <i>E</i>, и в треугольники <i>ACE</i>и <i>ECB</i>вписаны окружности, касающиеся отрезка <i>CE</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Найдите длину отрезка <i>MN</i>, если известны длины отрезков <i>AE</i>и <i>BE</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i>касается стороны <i>BC</i>в точке <i>K</i>, а вневписанная — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>CK</i>=<i>BL</i>= (<i>a</i>+<i>b</i>-<i>c</i>)/2, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника.

Прямые <i>PA</i>и <i>PB</i>касаются окружности с центром <i>O</i>(<i>A</i>и <i>B</i> — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки <i>PA</i>и <i>PB</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>. Докажите, что величина угла <i>XOY</i>не зависит от выбора третьей касательной.

Две окружности радиусов <i>R</i>и <i>r</i>касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.