Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Свойства частей, полученных при разрезаниях» - сложность 3 с решениями

На квадратном листе бумаги нарисовано<i>n</i>прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам листа. Никакие два из этих прямоугольников не имеют общих внутренних точек. Докажите, что если вырезать эти прямоугольники, то количество кусков, на которые распадается оставшаяся часть листа, не более<i>n</i>+ 1.

Докажите, что если<i>n</i>-угольник разрезан произвольным образом на<i>k</i>треугольников, то<i>k</i>$\ge$<i>n</i>- 2.

а) В выпуклом<i>n</i>-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более<i>n</i>сторон. б) Докажите, что если<i>n</i>чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более<i>n</i>- 1 сторон.