Олимпиадные задачи из источника «глава 23. Делимость, инварианты, раскраски» для 6-10 класса - сложность 4-5 с решениями
<i>Триангуляцией</i>многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.
Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?
Правильный треугольник разбит на <i>n</i><sup>2</sup>одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами1, 2,...,<i>m</i>, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что<i>m</i>$\le$<i>n</i><sup>2</sup>-<i>n</i>+ 1.
Дан квадратный лист клетчатой бумаги размером100×100 клеток. Проведено несколько несамопересекающихся ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами обязательно выходят на границу. Докажите, что кроме вершин квадрата найдется еще узел (внутри квадрата или на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.
Даны точки<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>. Рассмотрим окружность радиуса <i>R</i>, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса <i>R</i>с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.
Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.
Выпуклый многоугольник разрезан на<i>p</i>треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть<i>n</i>и<i>m</i>— количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его. а) Докажите, что<i>p</i>=<i>n</i>+ 2<i>m</i>- 2. б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2<i>n</i>+ 3<i>m</i>- 3.
Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть <i>p</i> — количество полученных многоугольников,<i>q</i> — количество отрезков, являющихся их сторонами,<i>r</i> — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что<i>p</i>-<i>q</i>+<i>r</i>= 1.
В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.