Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Другие вспомогательные раскраски»
параграф 5. Другие вспомогательные раскраски
НазадКартинная галерея представляет собой невыпуклый<i>n</i>-угольник. Докажите, что для обзора всей галереи достаточно [<i>n</i>/3] сторожей.
Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.
Докажите, что если вершины выпуклого <i>n</i>-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то <i>n</i> ≤ 4.
На клетчатой бумаге даны произвольные <i>n</i>клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее<i>n</i>/4 клеток, не имеющих общих точек.
Можно ли шашечную доску размером10×10 замостить плитками размером 1×4?
Выпуклый<i>n</i>-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится нечетное число треугольников. Докажите, что <i>n</i>делится на 3.
Из листа клетчатой бумаги размером29×29 клеток вырезано 99 квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что из него можно вырезать еще один такой квадратик.
Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку 1×4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.
Правильный треугольник разбит на <i>n</i><sup>2</sup>одинаковых правильных треугольников (рис.). Часть из них занумерована числами1, 2,...,<i>m</i>, причем треугольники с последовательными номерами имеют смежные стороны. Докажите, что<i>m</i>$\le$<i>n</i><sup>2</sup>-<i>n</i>+ 1.